每次該押多少？

凱莉公式回答的就是這個問題：每次拿本金的幾 % 下注，資金的長期複利成長最快。

其中 q = 1 − p；b 是押 1 元、贏了淨賺的金額，輸了就賠掉那 1 元。

舉個實際的例子：本金 10 萬元、勝率 60%、1 賠 1，算出 f* = 0.6 − 0.4 = 20%，所以第一注押 2 萬元。贏了本金變 12 萬元，下一注押 12 萬元的 20%，也就是 2.4 萬元；輸了剩 8 萬元，下一注就只押 1.6 萬元。押的永遠是「當下本金」的固定比例，所以不會一次輸光。

這條公式出自 1956 年貝爾實驗室 John Kelly 的資訊理論論文。

為什麼不是押越多越好？

因為資金是用乘法在滾的。100 元先賺 50% 變成 150，再賠 50% 只剩 75：漲跌幅度一樣，結果卻少了四分之一。

押得越重，這種波動拖累就越大，而且會隨押注比例的平方增加，報酬卻只是線性增加。所以最後剩多少錢，對押注比例畫出來會是一座山：押太少，浪費了優勢；押在凱莉點，錢最多；押到大約 2 倍凱莉，就只能打平；再往上押，就算每注期望值是正的，資金長期也會趨近於零。下面的模擬器會用實際金額把這座山畫出來。

用你的本金試試看

輸入本金，再拉動勝率、賠率和下注次數。在第一張圖上點任一處，可以看每次押那個比例，最後通常會剩多少錢。

元
60% 1.0 100
凱莉比例20%
第一注押2 萬元
100 注後通常變成75.3 萬元

每次押幾 %，最後通常剩多少錢？

實際跑一次看看

一注一注看

同樣的設定跑 1000 次

用在投資上

股票
報酬是連續分布、不是非贏即輸，公式要改成 f* = (μ − r) / σ²，也就是超額報酬除以變異數。其中 μ 最難估，估差一點，算出來的比例就差很多。
交易系統
常用 f* = W − (1 − W) / R（W 是勝率，R 是平均賺賠比）。它算出的是每筆打到停損時，虧掉的錢佔總資金多少；要換成部位大小，還得再除以停損幅度。
實務
多半只用半凱莉或更少。勝率和賠率都是估計出來的，高估了優勢，就等於不知不覺在超押。半凱莉能保留約 75% 的成長率，波動減半；理論上，資金「曾經腰斬」的機率也會從 50% 降到約 12.5%。